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11 Homework/Mathe II/Homework 6.typ

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+        Mathe II \
+        Hausaufgabe 02 \
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+  )
+
+= Problem 2
+
+== (a)
+$ f_n (x) = (sin(n x) + n) / (3n + 1) = (sin(n x) / n + 1) / (3 + 1/n) $
+Da $ lim_(n -> oo) sin(n x) / n = 0 $, ist der punktweise Grenzwert:
+$ f(x) = lim_(n -> oo) f_n (x) = (0 + 1) / (3 + 0) = 1/3 $
+
+== (b)
+Zu zeigen: $ f_n (x) = (n x) / (n x^2 + 1) $ konvergiert auf $ [r, 1) $ mit $ r > 0 $ gleichmäßig gegen $ f(x) = 1/x $.
+$ |f_n (x) - f(x)| = |(n x) / (n x^2 + 1) - 1/x| = |(n x^2 - (n x^2 + 1)) / (x(n x^2 + 1))| = 1 / (n x^3 + x) $
+Da $ x >= r > 0 $, gilt $ n x^3 + x > n r^3 $. Daraus folgt für das Supremum:
+$ sup_(x in [r, 1)) |f_n (x) - f(x)| <= 1 / (n r^3) $
+Wegen $ lim_(n -> oo) 1 / (n r^3) = 0 $ konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig.
+
+= Problem 3
+
+Sei $ cal(E) = (bold(m)_0, bold(m)_1) $ die Standardbasis. Die Basiswechselmatrizen von $ cal(B) $ und $ cal(C) $ in $ cal(E) $ sind:
+$ M_cal(B) = mat(3, 2; 3, 1), quad M_cal(C) = mat(4, 1; 0, 1) $
+Der Koordinatenvektor von $ bold(p) = bold(m)_0 + bold(m)_1 $ in $ cal(E) $ ist $ bold(p)^cal(E) = vec(1, 1) $.
+
+== (a)
+$ bold(p)^cal(B) = M_cal(B)^(-1) bold(p)^cal(E) = 1/(3-6) mat(1, -2; -3, 3) vec(1, 1) = mat(-1/3, 2/3; 1, -1) vec(1, 1) = vec(1/3, 0) $
+
+== (b)
+$ T_(cal(C) <- cal(B)) = M_cal(C)^(-1) M_cal(B) = 1/4 mat(1, -1; 0, 4) mat(3, 2; 3, 1) = mat(1/4, -1/4; 0, 1) mat(3, 2; 3, 1) = mat(0, 1/4; 3, 1) $
+$ T_(cal(B) <- cal(C)) = (T_(cal(C) <- cal(B)))^(-1) = 1/(0 - 3/4) mat(1, -1/4; -3, 0) = -4/3 mat(1, -1/4; -3, 0) = mat(-4/3, 1/3; 4, 0) $
+
+== (c)
+$ bold(p)^cal(C) = T_(cal(C) <- cal(B)) bold(p)^cal(B) = mat(0, 1/4; 3, 1) vec(1/3, 0) = vec(0, 1) $