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11 Homework/Mathe II/Homework 7.typ

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+    Mathe II \
+    Hausaufgabe 07 \
+    Jan Meyer \
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+
+= Problem 1
+
+== (a)
+Punktweiser Grenzwert für $x in (0, oo)$:
+$ f(x) = lim_(n -> oo) n / (1 + n x) = lim_(n -> oo) 1 / (1/n + x) = 1/x $
+
+== (b)
+Zu prüfen ist, ob $lim_(n -> oo) sup_(x in RR) |f_n (x) - f(x)| = 0$ gilt.
+Die Differenz lautet:
+$ |f_n (x) - f(x)| = |(x^2 + n^2 x)/n^2 - x| = x^2/n^2 $
+Das Supremum auf ganz $RR$ ist für jedes $n$ unendlich:
+$ sup_(x in RR) x^2/n^2 = oo $
+Die Konvergenz ist somit nicht gleichmäßig.
+
+= Problem 4
+
+== (a)
+$A$ ist symmetrisch ($A^T = A$). Für die positive Definitheit prüfen wir die Hauptminoren nach Sylvester:
+- $D_1 = 1 > 0$
+- $D_2 = det mat(1, 0; 0, 1) = 1 > 0$
+- $D_3 = 1 dot (5 - 4) = 1 > 0$
+- $D_4 = 3 dot D_3 = 3 > 0$
+Da alle Hauptminoren positiv sind, ist $A$ positiv definit und definiert ein Skalarprodukt.
+
+== (b)
+Ansatz für die Projektion $p$: $p = X c$ mit $X = (u_1, u_2)$ und $c = vec(c_1, c_2)$.
+Normalengleichung: $X^T A X c = X^T A v$.
+
+Berechnung der Gramschen Matrix $X^T A X$:
+$ X^T A X = mat(u_1^T A u_1, u_1^T A u_2; u_2^T A u_1, u_2^T A u_2) = mat(4, 1; 1, 2) $
+
+Berechnung der rechten Seite $X^T A v$:
+$ A v = mat(1, 0, 0, 0; 0, 1, -2, 0; 0, -2, 5, 0; 0, 0, 0, 3) mat(2; 2; 2; 2) = mat(2; -2; 6; 6) $
+$ X^T A v = mat(u_1^T A v; u_2^T A v) = mat(8; 0) $
+
+Lösen des LGS:
+$ mat(4, 1; 1, 2) mat(c_1; c_2) = mat(8; 0) $
+Aus der 2. Zeile folgt $c_1 = -2 c_2$. Eingesetzt in die 1. Zeile ergibt $4(-2 c_2) + c_2 = 8 <=> -7 c_2 = 8 <=> c_2 = -8/7$. Damit ist $c_1 = 16/7$.
+
+Einsetzen in $p$:
+$ p = c_1 u_1 + c_2 u_2 = 16/7 mat(1; 0; 0; 1) - 8/7 mat(1; 1; 0; 0) = mat(8/7; -8/7; 0; 16/7) $