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        Mathe II \
        Hausaufgabe 02 \
        Jan Meyer \
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  )

= Problem 2

== (a)
$f_n (x) = (sin(n x) + n) / (3n + 1) = (sin(n x) / n + 1) / (3 + 1/n)$
Da $lim_(n -> oo) sin(n x) / n = 0$, ist der punktweise Grenzwert:
$f(x) = lim_(n -> oo) f_n (x) = (0 + 1) / (3 + 0) = 1/3$

== (b)
Zu zeigen: $f_n (x) = (n x) / (n x^2 + 1)$ konvergiert auf $[r, 1)$ mit $r > 0$ gleichmäßig gegen $f(x) = 1/x$.
$|f_n (x) - f(x)| = |(n x) / (n x^2 + 1) - 1/x| = |(n x^2 - (n x^2 + 1)) / (x(n x^2 + 1))| = 1 / (n x^3 + x)$
Da $x >= r > 0$, gilt $n x^3 + x > n r^3$. Daraus folgt für das Supremum:
$sup_(x in [r, 1)) |f_n (x) - f(x)| <= 1 / (n r^3)$
Wegen $lim_(n -> oo) 1 / (n r^3) = 0$ konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig.

= Problem 3

Sei $cal(E) = (bold(m)_0, bold(m)_1)$ die Standardbasis. Die Basiswechselmatrizen von $cal(B)$ und $cal(C)$ in $cal(E)$ sind:
$M_cal(B) = mat(3, 2; 3, 1), quad M_cal(C) = mat(4, 1; 0, 1)$
Der Koordinatenvektor von $bold(p) = bold(m)_0 + bold(m)_1$ in $cal(E)$ ist $bold(p)^cal(E) = vec(1, 1)$.

== (a)
$bold(p)^cal(B) = M_cal(B)^(-1) bold(p)^cal(E) = 1/(3-6) mat(1, -2; -3, 3) vec(1, 1) = mat(-1/3, 2/3; 1, -1) vec(1, 1) = vec(1/3, 0)$

== (b)
$T_(cal(C) <- cal(B)) = M_cal(C)^(-1) M_cal(B) = 1/4 mat(1, -1; 0, 4) mat(3, 2; 3, 1) = mat(1/4, -1/4; 0, 1) mat(3, 2; 3, 1) = mat(0, 1/4; 3, 1)$
$T_(cal(B) <- cal(C)) = (T_(cal(C) <- cal(B)))^(-1) = 1/(0 - 3/4) mat(1, -1/4; -3, 0) = -4/3 mat(1, -1/4; -3, 0) = mat(-4/3, 1/3; 4, 0)$

== (c)
$bold(p)^cal(C) = T_(cal(C) <- cal(B)) bold(p)^cal(B) = mat(0, 1/4; 3, 1) vec(1/3, 0) = vec(0, 1)$