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    Mathe II \
    Hausaufgabe 07 \
    Jan Meyer \
    664237
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= Problem 1

== (a)
Punktweiser Grenzwert für $x in (0, oo)$:
$ f(x) = lim_(n -> oo) n / (1 + n x) = lim_(n -> oo) 1 / (1/n + x) = 1/x $

== (b)
Zu prüfen ist, ob $lim_(n -> oo) sup_(x in RR) |f_n (x) - f(x)| = 0$ gilt.
Die Differenz lautet:
$ |f_n (x) - f(x)| = |(x^2 + n^2 x)/n^2 - x| = x^2/n^2 $
Das Supremum auf ganz $RR$ ist für jedes $n$ unendlich:
$ sup_(x in RR) x^2/n^2 = oo $
Die Konvergenz ist somit nicht gleichmäßig.

= Problem 4

== (a)
$A$ ist symmetrisch ($A^T = A$). Für die positive Definitheit prüfen wir die Hauptminoren nach Sylvester:
- $D_1 = 1 > 0$
- $D_2 = det mat(1, 0; 0, 1) = 1 > 0$
- $D_3 = 1 dot (5 - 4) = 1 > 0$
- $D_4 = 3 dot D_3 = 3 > 0$
Da alle Hauptminoren positiv sind, ist $A$ positiv definit und definiert ein Skalarprodukt.

== (b)
Ansatz für die Projektion $p$: $p = X c$ mit $X = (u_1, u_2)$ und $c = vec(c_1, c_2)$.
Normalengleichung: $X^T A X c = X^T A v$.

Berechnung der Gramschen Matrix $X^T A X$:
$ X^T A X = mat(u_1^T A u_1, u_1^T A u_2; u_2^T A u_1, u_2^T A u_2) = mat(4, 1; 1, 2) $

Berechnung der rechten Seite $X^T A v$:
$ A v = mat(1, 0, 0, 0; 0, 1, -2, 0; 0, -2, 5, 0; 0, 0, 0, 3) mat(2; 2; 2; 2) = mat(2; -2; 6; 6) $
$ X^T A v = mat(u_1^T A v; u_2^T A v) = mat(8; 0) $

Lösen des LGS:
$ mat(4, 1; 1, 2) mat(c_1; c_2) = mat(8; 0) $
Aus der 2. Zeile folgt $c_1 = -2 c_2$. Eingesetzt in die 1. Zeile ergibt $4(-2 c_2) + c_2 = 8 <=> -7 c_2 = 8 <=> c_2 = -8/7$. Damit ist $c_1 = 16/7$.

Einsetzen in $p$:
$ p = c_1 u_1 + c_2 u_2 = 16/7 mat(1; 0; 0; 1) - 8/7 mat(1; 1; 0; 0) = mat(8/7; -8/7; 0; 16/7) $